2019.2.16高中部集训
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Snowflake_Pink
2019年02月16日
  • 课程表

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    • 线段树
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    • 树状数组
    晚上
    • 考试:线段树$and$树状数组(但是我不用考,哈哈哈哈哈哈

    笔记

    1. 线段树

      • 概述:一种二叉树,类似区间树,主要用于解决连续区间的动态查询问题(单点/区间修改、区间最值/求和等等)

    • 建树:很显然,线段树是个完全二叉树,所以可以直接使用数组在储存这个树,连边都不用存了。

    1. SegTree[N];

    ​ <!--more-->

    ​ 对于这么一个树,结点$[i]$左孩子是$[2*i]$,右孩子是$[2*i+1]$。完整构造函数:

    const int  N=1000;
    int Tree[N];
    struct Segment_Tree{
        int sum[N<<2];//一般开2倍即可,开4倍比较保险
        inline void pushup(int o){
            sum[o]=sum[o*2]+sum[o*2+1];
        }
        inline void build (int o,int l,int r){
            if (l==r){
                sum[o]=SegTree[l];
                return;
            }
            int mid=(l+r)>>1;
            build (o*2,l,mid);
            build (o*2+1,mid+1,r);
            pushUp(o);
        }
    };
    • 各种基本操作:

      • 查询线段树(最大/最小):只有查询,不包括建树!!
      #define INF 1<<31
      const int N=1000;
      int Tree[N];
      struct Segment_Tree{
          #define lson (o<<1)
          #define rson (o<<1|1)
          int Min[N<<2];//这里并没有写Min的初始化代码
          inline int queryMin(int o,int l,int r,int ql,int qr){//当前树节点,左右边界,原查询边界
              if (ql<=1&&r<=qr) return Min[o];
              int mid=(l+r)>>1,ans=INF;
              if (ql<=mid) ans=min(ans,queryMin(lson,l,mid,ql,qr));
              if (qr>mid) ans=min(ans,queryMin(rson,mid+1,r,ql,qr));
              //分开查找左右子树
              return ans;
          }
      };
     * 单节点修改:这里演示最小值,单节点增加的情况,要随机应变!
    
    #define INF 1<<31
    const int N=1000;
    int Tree[N];
    struct Segment_Tree{
        #define lson (o<<1)
        #define rson (o<<1|1)
        int Min(N<<2);//同样不包括建树
        inline void pushUp(int o){
            Min[o]=min(Min[lson],Min[rson]);
        }
        inline void change(int o,int l,int r,int q,intv){
            //修改位置q,增加v
            if (l==r){
                Min[o]+=v;
                return;
            }
            int mid=(l+r)>>1;
            if (q<=mid) change (lson,l,mid,q,v);
            else change (rson,mid+1,r,q,v);
            pushUp(o);//向上更新
        }
    };
     * 区间修改:**[【洛谷】3372【模板】线段树1](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3372)**
       * 补充:上面都没有说线段树最重要的最精髓的地方,那就是$lazy$标记。如果某个父节点的子树并不需要立即更新,只需要在父节点上面打一个$lazy$标记,在真正需要查询的时候在把标记传递到子节点。相应的子节点也要看情况判断是否需要继续`pushdown`,如果不用就打上$lazy$标记。记得`pushdown`后,父节点的$lazy$要消掉!
    
    #include<cstdio>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    
    #define lson (o<<1)
    #define rson (o<<1|1)
    
    using namespace std;
    
    
    const int MAX=110000;
    long long sumv[500000], add[500000];
    
    void pushup(int o){
        sumv[o]=sumv[lson]+sumv[rson];
    }
    
    void pushdown(int o,int l,int r){
        int k=(l+r)>>1;
        if(!add[o]) return;
        add[lson]+=add[o];
        add[rson]+=add[o];
        sumv[lson]+=add[o]*(k-l+1);
        sumv[rson]+=add[o]*(r-k);
        add[o]=0;
    }
    
    void build(int o,int l,int r){
        add[o]=0;
        if(l==r){
            scanf("%lld",&sumv[o]);
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        build(lson,l,mid);
        build(rson,mid+1,r);
        pushup(o);
    }
    
    void optadd(int o,int l,int r,int ql,int qr,int v){
        if(ql<=l&&qr>=r){
            add[o]+=v;
            sumv[o]+=v*(r-l+1);
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        pushdown(o,l,r);
        if(ql<=mid) optadd(lson,l,mid,ql,qr,v);
        if(qr>mid)  optadd(rson,mid+1,r,ql,qr,v);
        pushup(o);
    }
    
    long long que(int o,int l,int r,int ql,int qr){
        if(ql<=l&&qr>=r) return sumv[o];
        pushdown(o,l,r);
        int mid=(l+r)>>1;
        long long ans=0;
        pushup(o);
        if(ql<=mid) ans+=que(lson,l,mid,ql,qr);
        if(qr>mid)  ans+=que(rson,mid+1,r,ql,qr);
        return ans;
    }
    
    int main(){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        build(1,1,n);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            int L,R,C,Q;
            scanf("%d",&Q);
            if(Q==1){
                scanf("%d%d%d",&L,&R,&C);
                optadd(1,1,n,L,R,C);
            }
            else if(Q==2){
                scanf("%d%d",&L,&R);
                printf("%lld\n",que(1,1,n,L,R));
            }
        }
        return 0;
    }
    1. 树状数组

      • 定义:树状数组是一棵“树”,有点像线段树,但是和完全二叉树的储存还是有很大区别的。

      • 图中空白的格子不储存在数组中!我们把这些数组的下标转化为二进制看看:

      1 => 00000001

      2 => 00000010

      3 => 00000011

      4 => 00000100

      5 => 00000101

      6 => 00000110

      7 => 00000111

      8 => 00001000

      结合上面的图,你会惊奇的发现,c[i]储存$2^{lowbit(i)-1}$个数据的和,储存的范围是$data[i-2^{lowbit(i)-1}+1].....data[i]$。

      • 于是,我们可以定义树状数组中每一个元素$c[x]= \sum\limits_{i=2^{lowbit(x)-1}}^x data[i]$。
      • 单点修改:
      inline void Update(int i,int value){//i是修改位置,value是增加数值
          while (i<=n){
              c[i]+=value;
              i+=lowbit(i);
          }
          return;
      }
      • 区间查询:计算$1 \Rightarrow i$的和,若需要$l \Rightarrow r$的区间和,$ans=Sum(r)-Sum(l-1)$。
      inline int Sum(int i){
          int sum=0;
          while (i>0){
              sum+=c[i];
              i-=lowbit(i);
          }
          return sum;
      }

    总结

    • 数据结构挺恶心的,但是不得不说还是挺重要的,这种高级数据结构在省选比较多,光打个数据结构至少都有黄题的难度了。$emm$,有时间多做题吧QAQ
    本文作者:Snowflake_Pink
    本文链接:https://snowflake.pink/archives/14/
    最后修改时间:2020-04-13 11:11:04
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